diff --git a/notes/23. 链表中环的入口结点.md b/notes/23. 链表中环的入口结点.md
index 486a7e15..f9f8f4a2 100644
--- a/notes/23. 链表中环的入口结点.md
+++ b/notes/23. 链表中环的入口结点.md
@@ -8,21 +8,20 @@
## 解题思路
-使用双指针，一个快指针 fast 每次移动两个节点，一个慢指针 slow 每次移动一个节点。因为存在环，所以两个指针必定相遇在环中的某个节点上。
+使用快慢指针分两个阶段：
-假设环入口节点为 y1，相遇所在节点为 z1。
+- 第一阶段：fast 每次走两步，slow 每次走一步。两者进入环后，fast 每步都比 slow 多走一步，相当于从后面一格一格追上 slow，因此必定在环中的某个节点相遇；
+- 第二阶段：一个指针回到头节点，另一个留在相遇点，两者每次都走一步，再次相遇的节点就是环的入口。
-假设快指针 fast 在圈内绕了 N 圈，则总路径长度为 x+Ny+(N-1)z。z 为 (N-1) 倍是因为快慢指针最后已经在 z1 节点相遇了，后面就不需要再走了。
+第二阶段成立的原因如下。设头节点到入口的距离为 a，入口到相遇点的距离为 b，相遇点继续走到入口的距离为 c，环长 L = b + c。
-而慢指针 slow 总路径长度为 x+y。
+- slow 走了 a + b。slow 刚进入环时，fast 已经在环中，落后 slow 不到一圈，每步追近一格，所以 slow 走完一圈之前就会被追上；
+- fast 走了 a + b + kL（k ≥ 1，fast 比 slow 多绕的圈数）；
+- fast 走的路程是 slow 的两倍：2(a + b) = a + b + kL，整理得 a = kL - b = (k - 1)L + c。
-因为快指针是慢指针的两倍，因此 x+Ny+(N-1)z = 2(x+y)。
+a = (k - 1)L + c 说明：从头节点走 a 步到达入口时，从相遇点出发的指针恰好走了 c 步再绕 k - 1 圈，也停在入口，两者在入口相遇。
-要找的是环入口节点 y1，也可以看成寻找长度 x 的值，因此先将上面的等式整理为和 x 有关：x=(N-2)y+(N-1)z。
-
-上面的等式没有很强的规律，但是 y+z 就是圆环的总长度，因此将上面的等式再分解：x=(N-2)(y+z)+z。这个等式左边是从起点 x1 到环入口节点 y1 的长度，而右边是在圆环中走过 (N-2) 圈，再从相遇点 z1 再走过长度为 z 的长度。因此如果让两个指针同时从起点 x1 和相遇点 z1 开始，每次只走过一个距离，那么最后它们会在环入口节点相遇。
-
-
+
```java
public ListNode detectCycle(ListNode head) {
diff --git a/notes/pics/offer23-cycle-steps.png b/notes/pics/offer23-cycle-steps.png
new file mode 100644
index 00000000..4a2f61c9
Binary files /dev/null and b/notes/pics/offer23-cycle-steps.png differ
