diff --git a/notes/Leetcode 题解 - 搜索.md b/notes/Leetcode 题解 - 搜索.md index 20496896..29600e69 100644 --- a/notes/Leetcode 题解 - 搜索.md +++ b/notes/Leetcode 题解 - 搜索.md @@ -27,6 +27,8 @@ * [13. 分割字符串使得每个部分都是回文数](#13-分割字符串使得每个部分都是回文数) * [14. 数独](#14-数独) * [15. N 皇后](#15-n-皇后) + * [附录：实测](#附录实测) + * [A1. 岛屿数量的递归深度](#a1-岛屿数量的递归深度) @@ -54,13 +56,15 @@ - 4 -\> {} - 3 -\> {} -每一层遍历的节点都与根节点距离相同。设 di 表示第 i 个节点与根节点的距离，推导出一个结论：对于先遍历的节点 i 与后遍历的节点 j，有 di <= dj。利用这个结论，可以求解最短路径等 **最优解** 问题：第一次遍历到目的节点，其所经过的路径为最短路径。应该注意的是，使用 BFS 只能求解无权图的最短路径，无权图是指从一个节点到另一个节点的代价都记为 1。 +每一层遍历的节点都与根节点距离相同。设 di 表示第 i 个节点与根节点的距离，推导出一个结论：对于先遍历的节点 i 与后遍历的节点 j，有 di <= dj。利用这个结论，可以求解最短路径等最优解问题：第一次遍历到目的节点，其所经过的路径为最短路径。需要注意的是，BFS 只能求解无权图的最短路径，无权图是指从一个节点到另一个节点的代价都记为 1。 在程序实现 BFS 时需要考虑以下问题： - 队列：用来存储每一轮遍历得到的节点； - 标记：对于遍历过的节点，应该将它标记，防止重复遍历。 +下面的代码每轮先记下队列大小 size，取出的这 size 个节点正好是一层。 + ### 1. 计算在网格中从原点到特定点的最短路径长度 1091\. Shortest Path in Binary Matrix (Medium) @@ -68,13 +72,13 @@ [Leetcode](https://leetcode.com/problems/shortest-path-in-binary-matrix/) / [力扣](https://leetcode-cn.com/problems/shortest-path-in-binary-matrix/) ```text -[[1,1,0,1], - [1,0,1,0], - [1,1,1,1], - [1,0,1,1]] +Input: grid = [[0,0,0], + [1,1,0], + [1,1,0]] +Output: 4 ``` -题目描述：0 表示可以经过某个位置，求解从左上角到右下角的最短路径长度。 +题目描述：0 表示可以经过，每一步可以走到相邻的 8 个格子（包括斜对角），求从左上角到右下角最少经过几个格子，无法到达时返回 -1。 ```java public int shortestPathBinaryMatrix(int[][] grids) { @@ -208,6 +212,8 @@ Explanation: The endWord "cog" is not in wordList, therefore no possible transfo 题目描述：找出一条从 beginWord 到 endWord 的最短路径，每次移动规定为改变一个字符，并且改变之后的字符串必须在 wordList 中。 +把每个单词看成节点，只差一个字符的两个单词之间连一条边，问题就变成了无权图的最短路径。 + ```java public int ladderLength(String beginWord, String endWord, List wordList) { wordList.add(beginWord); @@ -283,11 +289,11 @@ private int getShortestPath(List[] graphic, int start, int end) { 而深度优先搜索在得到一个新节点时立即对新节点进行遍历：从节点 0 出发开始遍历，得到新节点 6 时，立马对新节点 6 进行遍历，得到新节点 4；如此反复以这种方式遍历新节点，直到没有新节点了，此时返回。返回到根节点 0 的情况是，继续对根节点 0 进行遍历，得到新节点 2，然后继续以上步骤。 -从一个节点出发，使用 DFS 对一个图进行遍历时，能够遍历到的节点都是从初始节点可达的，DFS 常用来求解这种 **可达性** 问题。 +从一个节点出发，使用 DFS 对一个图进行遍历时，能够遍历到的节点都是从初始节点可达的，DFS 常用来求解这种可达性问题。 在程序实现 DFS 时需要考虑以下问题： -- 栈：用栈来保存当前节点信息，当遍历新节点返回时能够继续遍历当前节点。可以使用递归栈。 +- 栈：用栈来保存当前节点信息，当遍历新节点返回时能够继续遍历当前节点，通常直接使用递归栈； - 标记：和 BFS 一样同样需要对已经遍历过的节点进行标记。 ### 1. 查找最大的连通面积 @@ -307,6 +313,8 @@ private int getShortestPath(List[] graphic, int start, int end) { [0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0]] ``` +题目描述：求上下左右相连的 1 组成的最大区域有多少个格子，上面的例子为 6。 + ```java private int m, n; private int[][] direction = {{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}}; @@ -355,7 +363,7 @@ Input: Output: 3 ``` -可以将矩阵表示看成一张无向图。 +可以将矩阵看成一张无向图，每个岛屿是一个连通分量，每次 DFS 把一整座岛屿改为 0，避免重复计数。 ```java private int m, n; @@ -390,6 +398,27 @@ private void dfs(char[][] grid, int i, int j) { } ``` +需要注意的是，递归深度最多等于岛屿的格子数，300 × 300 的网格全是 1 时深达 9 万层，JDK 21 默认的线程栈会溢出（见[附录 A1](#a1-岛屿数量的递归深度)），这时可以把 dfs 换成下面的 BFS： + +```java +private void bfs(char[][] grid, int i, int j) { + Queue queue = new LinkedList<>(); + queue.add(new int[]{i, j}); + grid[i][j] = '0'; + while (!queue.isEmpty()) { + int[] cur = queue.poll(); + for (int[] d : direction) { + int r = cur[0] + d[0], c = cur[1] + d[1]; + if (r < 0 || r >= m || c < 0 || c >= n || grid[r][c] == '0') { + continue; + } + grid[r][c] = '0'; + queue.add(new int[]{r, c}); + } + } +} +``` + ### 3. 好友关系的连通分量数目 547\. Number of Provinces (Medium) @@ -460,6 +489,8 @@ X O X X 先填充最外侧，剩下的就是里侧了。 +

+ ```java private int[][] direction = {{0, 1}, {0, -1}, {1, 0}, {-1, 0}}; private int m, n; @@ -524,7 +555,11 @@ Return: [[0, 4], [1, 3], [1, 4], [2, 2], [3, 0], [3, 1], [4, 0]] (positions with parentheses in above matrix). ``` -左边和上边是太平洋，右边和下边是大西洋，内部的数字代表海拔，海拔高的地方的水能够流到低的地方，求解水能够流到太平洋和大西洋的所有位置。 +左边和上边是太平洋，右边和下边是大西洋，内部的数字代表海拔，水能从一个格子流向海拔不高于它的相邻格子，求解水能够流到太平洋和大西洋的所有位置。 + +和上一题一样从边界出发：分别从两个大洋的沿岸逆着水流搜索，两边都能走到的格子就是答案。 + +

```java private int m, n; @@ -585,14 +620,30 @@ private void dfs(int r, int c, boolean[][] canReach) { Backtracking（回溯）属于 DFS。 -- 普通 DFS 主要用在 **可达性问题** ，这种问题只需要执行到特定的位置然后返回即可。 -- 而 Backtracking 主要用于求解 **排列组合** 问题，例如有 { 'a','b','c' } 三个字符，求解所有由这三个字符排列得到的字符串，这种问题在执行到特定的位置返回之后还会继续执行求解过程。 +- 普通 DFS 主要用在可达性问题，这种问题只需要执行到特定的位置然后返回即可； +- 而 Backtracking 主要用于求解排列组合问题，例如有 { 'a','b','c' } 三个字符，求解所有由这三个字符排列得到的字符串，这种问题在执行到特定的位置返回之后还会继续执行求解过程。 + +各题的代码都是下面的结构，加入结果时要复制当前选择，因为这个列表之后还会被修改： + +```text +backtracking(当前选择): + if 满足结束条件: + 结果.add(复制当前选择) + return + for 候选 in 这一层的候选: + if 不合法: continue + 做选择（加入列表、标记已访问） + backtracking(当前选择) + 撤销选择（移出列表、取消标记） +``` 因为 Backtracking 不是立即返回，而要继续求解，因此在程序实现时，需要注意对元素的标记问题： - 在访问一个新元素进入新的递归调用时，需要将新元素标记为已经访问，这样才能在继续递归调用时不用重复访问该元素； - 但是在递归返回时，需要将元素标记为未访问，因为只需要保证在一个递归链中不同时访问一个元素，可以访问已经访问过但是不在当前递归链中的元素。 +[岛屿数量](#2-矩阵中的连通分量数目)的标记表示格子已经处理过，不再撤销；[在矩阵中寻找字符串](#3-在矩阵中寻找字符串)的标记表示格子在当前路径上，换一条路径时要撤销。 + ### 1. 数字键盘组合 17\. Letter Combinations of a Phone Number (Medium) @@ -644,6 +695,8 @@ Given "25525511135", return ["255.255.11.135", "255.255.111.35"]. ``` +每一层截取 1～3 个字符作为一段，段的值不超过 255 且不能有前导 0；截满 4 段且正好用完字符时得到一个结果。 + ```java public List restoreIpAddresses(String s) { List addresses = new ArrayList<>(); @@ -695,6 +748,8 @@ word = "SEE", -> returns true, word = "ABCB", -> returns false. ``` +同一个格子在一条路径中只能用一次，例如 "ABCB" 走到 C 之后，相邻的 B 已经在路径上，因此返回 false。 + ```java private final static int[][] direction = {{1, 0}, {-1, 0}, {0, 1}, {0, -1}}; private int m; @@ -766,7 +821,6 @@ private boolean backtracking(int curLen, int r, int c, boolean[][] visited, fina ``` ```java - public List binaryTreePaths(TreeNode root) { List paths = new ArrayList<>(); if (root == null) { @@ -825,6 +879,10 @@ private String buildPath(List values) { ] ``` +下图是 [1,2,3] 的前 12 步： + +

+ ```java public List> permute(int[] nums) { List> permutes = new ArrayList<>(); @@ -865,7 +923,11 @@ private void backtracking(List permuteList, List> permute 数组元素可能含有相同的元素，进行排列时就有可能出现重复的排列，要求重复的排列只返回一个。 -在实现上，和 Permutations 不同的是要先排序，然后在添加一个元素时，判断这个元素是否等于前一个元素，如果等于，并且前一个元素还未访问，那么就跳过这个元素。 +和 Permutations 不同的是要先排序，让相同的元素相邻；添加一个元素时，如果它等于前一个元素，并且前一个元素还未访问，就跳过这个元素。 + +这样值相同的元素只能按下标顺序进入路径，每个排列只生成一次： + +

```java public List> permuteUnique(int[] nums) { @@ -917,6 +979,8 @@ If n = 4 and k = 2, a solution is: ] ``` +组合不考虑顺序，所以每一层只从比上一个数大的数中选，选出的组合递增，不会重复。 + ```java public List> combine(int n, int k) { List> combinations = new ArrayList<>(); @@ -930,7 +994,7 @@ private void backtracking(List combineList, List> combina combinations.add(new ArrayList<>(combineList)); return; } - for (int i = start; i <= n - k + 1; i++) { // 剪枝 + for (int i = start; i <= n - k + 1; i++) { // 剪枝：后面至少还要剩下 k - 1 个数 combineList.add(i); backtracking(combineList, combinations, i + 1, k - 1, n); combineList.remove(combineList.size() - 1); @@ -950,6 +1014,8 @@ A solution set is: [[7],[2, 2, 3]] ``` +每个数可以重复选取，所以递归时传入 i 而不是 i + 1。 + ```java public List> combinationSum(int[] candidates, int target) { List> combinations = new ArrayList<>(); @@ -991,6 +1057,8 @@ A solution set is: ] ``` +每个数只能用一次，递归时传入 i + 1；数组中有重复的数，去重方法与 [含有相同元素求排列](#6-含有相同元素求排列) 相同。 + ```java public List> combinationSum2(int[] candidates, int target) { List> combinations = new ArrayList<>(); @@ -1035,7 +1103,7 @@ Output: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]] ``` -从 1-9 数字中选出 k 个数不重复的数，使得它们的和为 n。 +从 1～9 中选出 k 个不重复的数，使得它们的和为 n，写法与 [组合](#7-组合) 相同。 ```java public List> combinationSum3(int k, int n) { @@ -1069,7 +1137,9 @@ private void backtracking(int k, int n, int start, [Leetcode](https://leetcode.com/problems/subsets/description/) / [力扣](https://leetcode-cn.com/problems/subsets/description/) -找出集合的所有子集，子集不能重复，[1, 2] 和 [2, 1] 这种子集算重复 +找出集合的所有子集，子集不能重复，[1, 2] 和 [2, 1] 这种子集算重复。 + +子集就是大小为 0～n 的所有组合，对每种大小各做一次组合的回溯。 ```java public List> subsets(int[] nums) { @@ -1116,6 +1186,8 @@ If nums = [1,2,2], a solution is: ] ``` +去重方法与 [含有相同元素求排列](#6-含有相同元素求排列) 相同。 + ```java public List> subsetsWithDup(int[] nums) { Arrays.sort(nums); @@ -1164,6 +1236,8 @@ Return ] ``` +每一层从剩余字符串的开头切出一段回文串，再对剩下的部分递归。 + ```java public List> partition(String s) { List> partitions = new ArrayList<>(); @@ -1204,6 +1278,8 @@ private boolean isPalindrome(String s, int begin, int end) {

+用三个标记数组记录每一行、每一列、每一个 3 \* 3 宫中已经出现的数字。找到一个解就返回 true，不再撤销，棋盘上留下的就是答案。 + ```java private boolean[][] rowsUsed = new boolean[9][10]; private boolean[][] colsUsed = new boolean[9][10]; @@ -1212,7 +1288,7 @@ private char[][] board; public void solveSudoku(char[][] board) { this.board = board; - for (int i = 0; i < 9; i++) + for (int i = 0; i < 9; i++) { for (int j = 0; j < 9; j++) { if (board[i][j] == '.') { continue; @@ -1222,7 +1298,8 @@ public void solveSudoku(char[][] board) { colsUsed[j][num] = true; cubesUsed[cubeNum(i, j)][num] = true; } - backtracking(0, 0); + } + backtracking(0, 0); } private boolean backtracking(int row, int col) { @@ -1322,3 +1399,49 @@ private void backtracking(int row) { } } ``` + +## 附录：实测 + +### A1. 岛屿数量的递归深度 + +环境：JDK 21.0.13（Temurin，macOS arm64，默认 ThreadStackSize = 2048 KB）。全为 1 的 N × N 网格，用与正文相同的 dfs（方向顺序右、左、下、上，会蛇形走完整个网格）并统计最大递归深度，命令为 `java Deep200 N`： + +```java +static int depth, maxDepth; + +static void dfs(char[][] g, int i, int j) { + if (i < 0 || i >= m || j < 0 || j >= n || g[i][j] == '0') return; + depth++; + maxDepth = Math.max(maxDepth, depth); + g[i][j] = '0'; + for (int[] d : direction) dfs(g, i + d[0], j + d[1]); + depth--; +} + +// main 中：全 1 的 N × N 网格 +try { + dfs(grid, 0, 0); + System.out.println(N + "x" + N + " all 1: max recursion depth " + maxDepth); +} catch (StackOverflowError e) { + System.out.println(N + "x" + N + " all 1: StackOverflowError at depth " + depth); +} +``` + +```text +# 第一次运行 +100x100 all 1: max recursion depth 10000 +200x200 all 1: StackOverflowError at depth 26231 +300x300 all 1: StackOverflowError at depth 25541 +# 第二次运行 +100x100 all 1: max recursion depth 10000 +200x200 all 1: StackOverflowError at depth 21931 +300x300 all 1: StackOverflowError at depth 14533 +``` + +正文的 numIslands 在 200 × 200 和 300 × 300 时同样抛出 StackOverflowError；换成 BFS 后三种规模都返回 1。溢出的深度与栈帧大小、JIT 编译状态有关，每次运行不同。 + +## 参考资料 + +- [LeetCode 题库](https://leetcode.com/problemset/) +- Sedgewick R, Wayne K. 算法（第 4 版）[M]. 人民邮电出版社, 2012. +- [Algorithms, 4th Edition](https://algs4.cs.princeton.edu/home/) diff --git a/notes/pics/search-n-queens-diag135.png b/notes/pics/search-n-queens-diag135.png index bb4a36b7..ab06b670 100644 Binary files a/notes/pics/search-n-queens-diag135.png and b/notes/pics/search-n-queens-diag135.png differ diff --git a/notes/pics/search-n-queens-diag45.png b/notes/pics/search-n-queens-diag45.png index fe3aaf5d..5e8c2bd6 100644 Binary files a/notes/pics/search-n-queens-diag45.png and b/notes/pics/search-n-queens-diag45.png differ diff --git a/notes/pics/search-pacific-atlantic.png b/notes/pics/search-pacific-atlantic.png new file mode 100644 index 00000000..6fb75d3e Binary files /dev/null and b/notes/pics/search-pacific-atlantic.png differ diff --git a/notes/pics/search-perm-dedup.png b/notes/pics/search-perm-dedup.png new file mode 100644 index 00000000..1fc29e3b Binary files /dev/null and b/notes/pics/search-perm-dedup.png differ diff --git a/notes/pics/search-permute-trace.png b/notes/pics/search-permute-trace.png new file mode 100644 index 00000000..6cd52566 Binary files /dev/null and b/notes/pics/search-permute-trace.png differ diff --git a/notes/pics/search-surrounded-regions.png b/notes/pics/search-surrounded-regions.png new file mode 100644 index 00000000..eadbe8c0 Binary files /dev/null and b/notes/pics/search-surrounded-regions.png differ