diff --git a/notes/Leetcode 题解 - 哈希表.md b/notes/Leetcode 题解 - 哈希表.md
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--- a/notes/Leetcode 题解 - 哈希表.md	
+++ b/notes/Leetcode 题解 - 哈希表.md	
@@ -6,14 +6,15 @@
     * [3. 最长和谐序列](#3-最长和谐序列)
     * [4. 最长连续序列](#4-最长连续序列)
     * [5. 和为 K 的子数组](#5-和为-k-的子数组)
+    * [参考资料](#参考资料)
 <!-- GFM-TOC -->
 
 
-哈希表使用 O(N) 空间复杂度存储数据，并且以 O(1) 时间复杂度求解问题。
+哈希表使用 O(N) 空间复杂度存储数据，查找、插入的平均时间复杂度为 O(1)，用空间换时间。
 
-- Java 中的   **HashSet**   用于存储一个集合，可以查找元素是否在集合中。如果元素有穷，并且范围不大，那么可以用一个布尔数组来存储一个元素是否存在。例如对于只有小写字符的元素，就可以用一个长度为 26 的布尔数组来存储一个字符集合，使得空间复杂度降低为 O(1)。
+- Java 中的 HashSet 用于存储一个集合，可以查找元素是否在集合中。如果元素有穷，并且范围不大，那么可以用一个布尔数组来存储一个元素是否存在。例如对于只有小写字符的元素，就可以用一个长度为 26 的布尔数组来存储一个字符集合，使得空间复杂度降低为 O(1)。
 
-- Java 中的   **HashMap**   主要用于映射关系，从而把两个元素联系起来。HashMap 也可以用来对元素进行计数统计，此时键为元素，值为计数。和 HashSet 类似，如果元素有穷并且范围不大，可以用整型数组来进行统计。在对一个内容进行压缩或者其它转换时，利用 HashMap 可以把原始内容和转换后的内容联系起来。例如在一个简化 url 的系统中（535\. Encode and Decode TinyURL (Medium)，[Leetcode](https://leetcode.com/problems/encode-and-decode-tinyurl/description/) / [力扣](https://leetcode-cn.com/problems/encode-and-decode-tinyurl/description/)），利用 HashMap 就可以存储精简后的 url 到原始 url 的映射，使得不仅可以显示简化的 url，也可以根据简化的 url 得到原始 url 从而定位到正确的资源。
+- Java 中的 HashMap 主要用于映射关系，从而把两个元素联系起来。HashMap 也可以用来对元素进行计数统计，此时键为元素，值为计数。和 HashSet 类似，如果元素有穷并且范围不大，可以用整型数组来进行统计。在对一个内容进行压缩或者其它转换时，利用 HashMap 可以把原始内容和转换后的内容联系起来。例如在一个简化 url 的系统中（535\. Encode and Decode TinyURL (Medium)，[Leetcode](https://leetcode.com/problems/encode-and-decode-tinyurl/description/) / [力扣](https://leetcode-cn.com/problems/encode-and-decode-tinyurl/description/)），利用 HashMap 就可以存储精简后的 url 到原始 url 的映射，使得不仅可以显示简化的 url，也可以根据简化的 url 得到原始 url 从而定位到正确的资源。
 
 
 ## 1. 数组中两个数的和为给定值
@@ -22,7 +23,7 @@
 
 [Leetcode](https://leetcode.com/problems/two-sum/description/) / [力扣](https://leetcode-cn.com/problems/two-sum/description/)
 
-可以先对数组进行排序，然后使用双指针方法或者二分查找方法。这样做的时间复杂度为 O(NlogN)，空间复杂度为 O(1)。
+可以先对数组进行排序，然后使用双指针方法或者二分查找方法，时间复杂度为 O(NlogN)。需要注意的是，题目要求返回原数组的下标，排序会打乱下标，因此要把元素和原下标一起排序，空间复杂度为 O(N)。
 
 用 HashMap 存储数组元素和索引的映射，在访问到 nums[i] 时，判断 HashMap 中是否存在 target - nums[i]，如果存在说明 target - nums[i] 所在的索引和 i 就是要找的两个数。该方法的时间复杂度为 O(N)，空间复杂度为 O(N)，使用空间来换取时间。
 
@@ -68,7 +69,7 @@ Output: 5
 Explanation: The longest harmonious subsequence is [3,2,2,2,3].
 ```
 
-和谐序列中最大数和最小数之差正好为 1，应该注意的是序列的元素不一定是数组的连续元素。
+和谐序列中最大数和最小数之差正好为 1，需要注意的是序列的元素不一定是数组的连续元素。统计每个数出现的次数，对每个 num，只有 num + 1 也存在时，两者的次数之和才是以它们为最小、最大值的和谐序列长度。
 
 ```java
 public int findLHS(int[] nums) {
@@ -97,42 +98,33 @@ Given [100, 4, 200, 1, 3, 2],
 The longest consecutive elements sequence is [1, 2, 3, 4]. Return its length: 4.
 ```
 
-要求以 O(N) 的时间复杂度求解。
+要求以 O(N) 的时间复杂度求解，因此不能排序。
+
+把所有数放进 HashSet，只从每段连续序列的起点开始向后数：num - 1 不在集合中时，num 是起点，依次查找 num + 1、num + 2……直到断开。例如 4 不是起点（3 在集合中），跳过；1 是起点，向后数到 4，长度为 4。每个数只会在它所在序列的起点被数到一次，总的时间复杂度为 O(N)。
 
 ```java
 public int longestConsecutive(int[] nums) {
-    Map<Integer, Integer> countForNum = new HashMap<>();
+    Set<Integer> set = new HashSet<>();
     for (int num : nums) {
-        countForNum.put(num, 1);
+        set.add(num);
     }
-    for (int num : nums) {
-        forward(countForNum, num);
+    int longest = 0;
+    for (int num : set) {
+        if (set.contains(num - 1)) {
+            continue; // num 不是一段连续序列的起点
+        }
+        int end = num;
+        while (set.contains(end + 1)) {
+            end++;
+        }
+        longest = Math.max(longest, end - num + 1);
     }
-    return maxCount(countForNum);
-}
-
-private int forward(Map<Integer, Integer> countForNum, int num) {
-    if (!countForNum.containsKey(num)) {
-        return 0;
-    }
-    int cnt = countForNum.get(num);
-    if (cnt > 1) {
-        return cnt;
-    }
-    cnt = forward(countForNum, num + 1) + 1;
-    countForNum.put(num, cnt);
-    return cnt;
-}
-
-private int maxCount(Map<Integer, Integer> countForNum) {
-    int max = 0;
-    for (int num : countForNum.keySet()) {
-        max = Math.max(max, countForNum.get(num));
-    }
-    return max;
+    return longest;
 }
 ```
 
+需要注意的是，遍历的是 set 而不是 nums：nums 中同一个起点重复出现很多次时，遍历 nums 会把同一段序列重复数很多遍。
+
 ## 5. 和为 K 的子数组
 
 560\. Subarray Sum Equals K (Medium)
@@ -148,6 +140,15 @@ Output: 2
 
 用 sum 表示从数组开头到当前位置的前缀和，以当前位置结尾、和为 k 的子数组，对应前面某个位置的前缀和为 sum - k。遍历时用哈希表记录每个前缀和出现的次数即可。数组中有负数，窗口变大时和不一定变大，因此不能用滑动窗口。
 
+有两处容易写错：
+
+- 开始时放入前缀和 0、次数 1，表示数组开始之前的空前缀，这样从下标 0 开始的子数组也能被统计；
+- 先查询 sum - k、再登记当前的 sum，保证配对的是更早的前缀，否则 k = 0 时当前前缀会和自己配对。
+
+哈希表记录的是次数而不是是否出现，因为同一个前缀和可能出现多次，每一次都对应一个不同的子数组。例如 nums = [1, -1, 0]、k = 0：
+
+<div align="center"> <img src="pics/lc-hash-prefix-sum.png" width="680px"/> </div><br>
+
 ```java
 public int subarraySum(int[] nums, int k) {
     Map<Integer, Integer> cnt = new HashMap<>();
@@ -161,3 +162,7 @@ public int subarraySum(int[] nums, int k) {
     return ret;
 }
 ```
+
+## 参考资料
+
+- [LeetCode 题库](https://leetcode.com/problemset/)
diff --git a/notes/pics/lc-hash-prefix-sum.png b/notes/pics/lc-hash-prefix-sum.png
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index 00000000..78be4609
Binary files /dev/null and b/notes/pics/lc-hash-prefix-sum.png differ