Update 62. 圆圈中最后剩下的数.md

补充约瑟夫环公式推导与示例图，并将递归实现调整为循环递推实现。

notes/62. 圆圈中最后剩下的数.md

@@ -10,16 +10,24 @@
 
 ## 解题思路
 
-约瑟夫环，圆圈长度为 n 的解可以看成长度为 n-1 的解再加上报数的长度 m。因为是圆圈，所以最后需要对 n 取余。
+约瑟夫环问题。设 f(n) 为 n 个人（编号 0～n-1）报到 m 出列时最后剩下的编号。第一轮出列的是编号 (m - 1) % n，之后从编号 m % n 开始报数，剩下 n - 1 个人。把他们从 m % n 开始重新编号为 0、1、2……，就变成了 n - 1 个人的同一个问题，答案 f(n - 1) 是新编号；新编号 x 对应的原编号为 (x + m) % n，因此：
+
+```text
+f(1) = 0
+f(n) = (f(n - 1) + m) % n
+```
+
+例如 n = 5、m = 3，每一行是这一轮还剩下的人，从开始报数的人排起，上方是这一轮的新编号。最后剩下的 3 在每一行的新编号就是 f(5)～f(1)，下一行到上一行编号加 3 再取余：
+
+<div align="center"> <img src="pics/offer62-josephus.png" width="600px"/> </div><br>
+
+num 最大为 10<sup>5</sup>，递归的调用深度与 num 相同，因此从 f(1) 开始递推：
 
 ```java
 public int iceBreakingGame(int num, int target) {
-    if (num <= 0) {
-        return -1;
-    }
-    if (num == 1) {
-        return 0;
-    }
-    return (iceBreakingGame(num - 1, target) + target) % num;
+    int x = 0;                       /* f(1) = 0 */
+    for (int i = 2; i <= num; i++)
+        x = (x + target) % i;        /* f(i) = (f(i - 1) + target) % i */
+    return x;
 }
 ```