Update 14. 剪绳子.md

调整题目描述与边界说明，精简贪心策略的推导过程，补充动态规划解法的状态定义与状态转移说明。

notes/14. 剪绳子.md

@@ -6,7 +6,7 @@
 
 ## 题目描述
 
-把一根绳子剪成多段，并且使得每段的长度乘积最大。
+把一根长度为 n 的绳子剪成多段（至少剪一刀，n ≥ 2），每段长度为整数，求各段长度乘积的最大值。
 
 ```text
 n = 2
@@ -20,21 +20,15 @@ return 36 (10 = 3 + 3 + 4)
 
 ### 贪心
 
-尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。
+结论：尽可能多剪长度为 3 的段；剩下 1 时，把一个 3 + 1 改成 2 + 2；剩下 2 时，单独留一段 2。例如 n = 10 = 3 + 3 + 4，乘积 3 × 3 × 4 = 36。
 
-将绳子拆成 1 和 n-1，则 1(n-1)-n=-1\<0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。
+推导分三步：
 
-将绳子拆成 2 和 n-2，则 2(n-2)-n = n-4，在 n\>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。
+- 不会出现长度为 1 的段：把 1 并到相邻的一段 x 上，乘积从 x 变为 x + 1，更大；
+- 不会出现长度不小于 5 的段：把它拆成 2 和 x - 2，2(x - 2) - x = x - 4 \> 0，乘积更大。长度为 4 的段与 2 + 2 的乘积相同，可以看成两段 2，因此只剩下 2 和 3；
+- 长度为 2 的段最多两段：三段 2 的总长与两段 3 相同，而 2 × 2 × 2 = 8 \< 3 × 3 = 9。
 
-将绳子拆成 3 和 n-3，则 3(n-3)-n = 2n-9，在 n\>=5 时效果更好。
-
-将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2\*2，因此效果和拆成 2 一样。
-
-将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5\<2\*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。
-
-将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6\<3\*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 \>= 0，在 n\>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。
-
-继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。
+所以 n 除以 3 余 0 时全是 3；余 1 时最后是 2 + 2；余 2 时最后是一个 2。n = 2、3 时必须至少剪一刀，答案分别是 1 和 2，要单独处理。
 
 ```java
 public int cuttingBamboo(int bamboo_len) {
@@ -54,6 +48,8 @@ public int cuttingBamboo(int bamboo_len) {
 
 ### 动态规划
 
+dp[i] 表示长度为 i 的绳子剪过至少一刀后的最大乘积。枚举最后一段的长度 i - j，前面的 j 不再剪时乘积为 j × (i - j)，继续剪时为 dp[j] × (i - j)，取最大值。时间复杂度 O(N<sup>2</sup>)。
+
 ```java
 public int cuttingBamboo(int bamboo_len) {
     int[] dp = new int[bamboo_len + 1];