Update 40. 最小的 K 个数.md

大顶堆解法新增执行过程配图，补充堆选择原因与防溢出说明；快速选择解法补充随机切分实现并更新复杂度说明。

notes/40. 最小的 K 个数.md

@@ -9,13 +9,15 @@
 ### 大小为 K 的大顶堆
 
 - 复杂度：O(NlogK) + O(K)
-- 特别适合处理海量数据
+- 特别适合处理海量数据（内存中只保存 K 个数，数据可以边读边处理）
 
-使用大小为 K 的大顶堆保存当前最小的 K 个数：在添加一个元素之后，如果大顶堆的大小大于 K，那么将大顶堆的堆顶元素去除，也就是将当前堆中值最大的元素去除，从而使得留在堆中的元素都比被去除的元素来得小。
+使用大小为 K 的大顶堆保存当前最小的 K 个数：在添加一个元素之后，如果大顶堆的大小大于 K，那么将大顶堆的堆顶元素去除，也就是将当前堆中值最大的元素去除，从而使得留在堆中的元素都比被去除的元素来得小。例如 [4, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8]、K = 3：
 
-应该使用大顶堆来保存最小的 K 个数，而不能直接创建一个小顶堆并设置一个大小，企图让小顶堆中的元素都是最小元素。
+<div align="center"> <img src="pics/offer40-maxheap-walk.png" width="560px"/> </div><br>
 
-Java 的 PriorityQueue 实现了堆的能力，PriorityQueue 默认是小顶堆，可以在初始化时使用 Lambda 表达式 (o1, o2) -\> o2 - o1 来实现大顶堆。其它语言也有类似的堆数据结构。
+应该使用大顶堆来保存最小的 K 个数，而不能直接创建一个小顶堆并设置一个大小，企图让小顶堆中的元素都是最小元素。这是因为超出 K 个时要删掉的是 K + 1 个数中最大的那个，大顶堆的堆顶正好是它；小顶堆只能删掉最小的，最后留下的是最大的 K 个数。
+
+Java 的 PriorityQueue 实现了堆的能力，PriorityQueue 默认是小顶堆，可以在初始化时使用 Lambda 表达式 (o1, o2) -\> o2 - o1 来实现大顶堆。本题的数在 0～10000 之间，相减不会溢出；数值可能接近 int 的上下限时，相减会溢出、比较结果出错，应改用 Comparator.reverseOrder()。其它语言也有类似的堆数据结构。
 
 ```java
 public int[] inventoryManagement(int[] stock, int cnt) {
@@ -38,10 +40,10 @@ public int[] inventoryManagement(int[] stock, int cnt) {
 
 ### 快速选择
 
-- 复杂度：O(N) + O(1)
+- 复杂度：随机选择切分元素时期望 O(N) + O(1)，最坏 O(N<sup>2</sup>)（每次切分都选到最值）
 - 只有当允许修改数组元素时才可以使用
 
-快速排序的 partition() 方法，会返回一个整数 j 使得 a[l..j-1] 小于等于 a[j]，且 a[j+1..h] 大于等于 a[j]，此时 a[j] 就是数组中第 j 小的元素（j 从 0 开始计数）。可以利用这个特性找出数组的第 K 个元素，这种找第 K 个元素的算法称为快速选择算法。
+快速排序的 partition() 方法，会返回一个整数 j 使得 a[l..j-1] 小于等于 a[j]，且 a[j+1..h] 大于等于 a[j]，此时 a[j] 就是数组中第 j 小的元素（j 从 0 开始计数）。可以利用这个特性找出数组的第 K 个元素，这种找第 K 个元素的算法称为快速选择算法。切分元素固定取 a[l] 时，有序数组每次只能切掉一个元素，因此先随机选一个元素换到 a[l]。
 
 ```java
 public int[] inventoryManagement(int[] stock, int cnt) {
@@ -68,7 +70,10 @@ private void findKthSmallest(int[] nums, int k) {
     }
 }
 
+private final Random random = new Random();
+
 private int partition(int[] nums, int l, int h) {
+    swap(nums, l, l + random.nextInt(h - l + 1));  /* 随机选切分元素 */
     int p = nums[l];     /* 切分元素 */
     int i = l, j = h + 1;
     while (true) {