Update 算法 - 其它.md

调整汉诺塔递归步骤与移动次数的推导说明，补充哈夫曼编码长度对比及解码特性的描述。

notes/算法 - 其它.md

@@ -5,23 +5,23 @@
 
 有三个柱子，分别为 from、buffer、to。需要将 from 上的圆盘全部移动到 to 上，并且要保证小圆盘始终在大圆盘上。
 
-这是一个经典的递归问题，分为三步求解：
+这是一个经典的递归问题。如果只有一个圆盘，直接从 from 移到 to；有 n 个圆盘时分为三步：
 
-① 将 n-1 个圆盘从 from -\> buffer
+第一步，借助 to，将上面的 n - 1 个圆盘从 from 移到 buffer。
 
 <div align="center"> <img src="pics/hanoi-step1.png" width="460px"/> </div><br>
 
-② 将 1 个圆盘从 from -\> to
+第二步，将最大的圆盘从 from 移到 to。
 
 <div align="center"> <img src="pics/hanoi-step2.png" width="460px"/> </div><br>
 
-③ 将 n-1 个圆盘从 buffer -\> to
+第三步，借助 from，将 n - 1 个圆盘从 buffer 移到 to。
 
 <div align="center"> <img src="pics/hanoi-step3.png" width="460px"/> </div><br>
 
-如果只有一个圆盘，那么只需要进行一次移动操作。
+“借助”的柱子就是递归调用中的 buffer 参数，因此代码中第一步和第三步调用 move() 时交换了参数的顺序。
 
-从上面的讨论可以知道，a<sub>n</sub> = 2 * a<sub>n-1</sub> + 1，显然 a<sub>n</sub> = 2<sup>n</sup> - 1，n 个圆盘需要移动 2<sup>n</sup> - 1 次。
+设 n 个圆盘需要移动 a<sub>n</sub> 次，由三个步骤得到 a<sub>n</sub> = 2a<sub>n-1</sub> + 1，a<sub>1</sub> = 1。两边加 1 得到 a<sub>n</sub> + 1 = 2(a<sub>n-1</sub> + 1)，因此 a<sub>n</sub> = 2<sup>n</sup> - 1，例如 3 个圆盘需要移动 7 次。
 
 ```java
 public class Hanoi {
@@ -68,6 +68,8 @@ from H1 to H3
 
 生成编码时，从根节点出发，向左遍历则添加二进制位 0，向右则添加二进制位 1，直到遍历到叶子节点，叶子节点代表的字符的编码就是这个路径编码。
 
+上面的例子按下图编码，总长度为 250 位，每个字符固定 2 位则需要 300 位。因为字符都在叶子节点上，任何一个编码都不是另一个编码的前缀，解码时从根节点按位走到叶子节点就得到一个字符，不需要分隔符。
+
 <div align="center"> <img src="pics/huffman-tree.png" width="620px"/> </div><br>
 
 ```java